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Publié : 7 janvier 2012
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Géométrie

Enseignement de la géométrie :topo didactique

Préambule :

 

=> Boîte à outils du géomètre

 

=> Des réponses à de nombreuses questions sur le site de TFM (http://www.uvp5.univ-paris5.fr/), rubrique « les réponses aux questions » et rubrique « Espace et géométrie »

Indicateurs d’observation repérés

et difficultés

Propositions pour la mise en œuvre

Difficultés à tracer des traits droits

1ère activité: vérifier une règle

  • Donner aux élèves plusieurs objets plus ou moins rectilignes (tasseau de bois, vieille règle en plastique...)
  • Comparer chaque objet avec un objet de référence (défini comme droit, par exemple: règle du maître). La comparaison peut se faire à l’œil ou en collant l’objet contre l’objet de référence. L’objet sera défini comme non droit s’il y a des interstices.

2ème activité: apprentissage de la tenue de la règle

  • Faire tracer des droites, sans contraintes particulières, sur un support vertical, voire oblique (l’élève adoptera spontanément une position ergonomique). Ne pas travailler sur une surface plane.
    Plusieurs critères sont à prendre en compte: la règle (longueur suffisante, côté biseauté ou non), l’outil scripteur, la position des doigts, etc.
  • La représentation des droites peut être de toute longueur, dans toutes les directions.
  • Faire analyser par l’élève ses tracés.
  • Passer ensuite à un deuxième temps: tracés avec contraintes (une fois la tenue de la règle acquise). Faire oraliser la procédure (importance du lexique). Différentes contraintes à imposer:
    • passer par un point,
    • passer par deux points donnés,
    • tracer un trait entre deux extrémités définies,
    • allonger un tracé existant (d’un côté, des deux côtés)

3ème activité : situations d’entraînement

- Remettre en place le tracé de frises (petits formats, fréquence bi-hebdomadaire), les tracés quotidiens (souligner la date, les intitulés, etc.). - Fiche A -

- Utilisation de logiciels : instrumenpoche : http://instrumenpoche.sesamath.net/

- Exercices de pavage – Fiche B -  http://www.e-framework.net/school/PDP.pdf

- Réalisation d’un guide-âne – Fiche C -

               - Repasser des modèles en utilisant un feutre et une règle, type « point à point ».Ex : http://www.pointapoint.com/

 

Difficultés à avoir des tracés précis

(segments mal joints, angles droits imprécis, figure non fermée)

 

Activités de remédiation:

  • Placer trois points et lui demander de les joindre (tracer sur support vertical) en faisant d’abord poser la règle, lui demander de visualiser le tracé (apprendre à regarder où va le tracé), vérifier que la règle ne bouge pas après le début du tracé
  • Faire tracer des segments sur un réseau de points, en éduquant le regard: avoir la perspective du point à atteindre (faire verbaliser). - Fiche D -  
  • Faire terminer des figures partiellement tracées: finir un rectangle dont trois côtés sont tracés.
  • Travailler sur la position de la figure sur la feuille : l’imprécision peut venir de la crainte de l’élève de sortir du cadre du fait d’une mauvaise position initiale.
  • Travailler sur des figures non prototypiques: on travaille souvent avec des triangles quasi équilatéraux, des rectangles de même proportion. Utilisez des rectangles verticaux, étirés, des triangles étirés d’un côté ou de l’autre.
  • Travailler les angles droits : utiliser l’équerre, refaire avec l’équerre le même travail d’apprentissage qu’avec la règle.
  • Sur l’angle droit : utilisation de différents gabarits d’angle droit, utiliser le calque pour en reconnaître, procéder par glissement avec un papier opaque, travailler sur des polygones irréguliers et d’orientations différentes (possédant un angle droit ou plusieurs), compléter une figure en lui ajoutant un angle droit, faire tracer, faire représenter dans différents sens,
  • Sur les angles droits, faire tracer la perpendiculaire à une droite donnée, celle-ci n’étant pas choisie comme horizontale ou verticale. Faire évoluer ensuite cette étape en imposant ’trace la perpendiculaire à la droite donnée, passant par le point A’. - Fiche E
  • Pour les élèves ayant des difficultés dans la tenue de la règle (règle qui glisse lors du tracé) il peut être intéressant de leur proposer un morceau de Blu Tac sur un côté de la règle de manière à leur faire prendre conscience de la pression à exercer lors du tracé (pression verticale et non horizontale qui provoque souvent ce glissement)...

 

 

Difficultés à respecter les caractéristiques d’une figure pour les tracés (hors problèmes de mesure)


Activités de remédiation:

  • s’entraîner au tracé de figure à main levée pour supprimer les contraintes graphiques et ne s’attarder qu’aux caractéristiques, avec aide ou en ’dictée’.S’attarder sur les caractéristiques, ne pas se limiter aux figures ou positions prototypiques (côté parallèle au bord de la feuille) ;
  • Manipuler des objets carrés, rectangulaires, etc ; faire observer la permanence des propriétés des objets, quelle que soit leur position dans l’espace ou leur taille ;
  • Tracer le contour de polygones en utilisant des gabarits ; - Fiche F -
  • Comparer des figures pour identifier les figures répondant aux caractéristiques voulues (carré, rectangle, triangle). Mise en évidence des propriétés géométriques de la figure donnée (carré : côté de même longueur et angles particuliers) ; Entraînement à la construction : compléter des figures  ; Pour le carré ou le rectangle travail spécifique sur les angles droits.

 

Difficultés à repérer des cases sur un quadrillage

 

- jeu de mémory en autonomie : les cartes doivent être posées rigoureusement en lignes et colonnes. Travailler sur des tailles de jeu variables (3x3 à 8x8).  

- jeu de quadrillage multicolore : sur un quadrillage de type 3x5 à 6x8, demander à l’élève de réaliser une mosaïque avec pour consigne « une seule couleur par ligne ou colonne ». Les différents jetons sont de 6 à 9 couleurs différentes selon la difficulté visée.

- entraînement de systématisation de reproduction de quadrillages : l’élève doit reproduire un modèle sur un quadrillage (fiche ou utilisation de supports plastifiés) . - Fiche J1 -  Fiche J2 -

 

Difficultés à reconnaître des figures planes usuelles

 

- activités de tri : donner un lot de figures cartonnées, de gabarits très variables. Par exemple, pour les triangles, prévoir toutes les formes de triangles, voire ajouter un quadrilatère dont l’un des côtés est très petit ou non tracé. Activité reproductible avec des quadrilatères. -Fiche K-

 

- dictée de formes : les élèves disposant de gabarits ou de formes découpées, leur demander de reproduire une figure complexe. « Tu poses le carré puis un triangle rectangle sur le côté gauche, etc… ». Une phase d’analyse permet ensuite de comparer. Plusieurs figures peuvent répondre à la consigne initiale.

 

- Jeu de kim géométrique Fiche M -

Difficultés dans la symétrie axiale

- manipuler pour reconnaître l’axe de symétrie sur des dessins stéréotypés connus (bateau, papillon, bonhomme…).

- compléter une figure par symétrie axiale

- plier et découper des bords de feuilles pour constater les formes et régularités obtenues (napperon).

=> ensemble de fiches :

http://www.ac-nancy-metz.fr/ia54/ienNancy2/PEDA/DOC_PEDA/Maths/Geometrie/Symetrie/niveau1/default.htm

=> exercices en ligne :

 http://matoumatheux.ac-rennes.fr/geom/symetrie/CM1/completerCM1.htm

 

 

Difficultés à reconnaître l’angle droit

- reconstruire la définition : dans la cour de récréation à partir d’un point donné, faire tracer tous les segments jusqu’à une droite donnée (mur du préau par exemple), la perpendiculaire sera définie comme étant le plus court chemin entre le point et la droite choisie

ANGLEDROIT

 

L’angle droit sera alors matérialisé physiquement comme la surface délimitée par les deux côtés.

Les élèves peuvent vivre la situation en EPS en faisant une course entre le point de départ et le point d’arrivée au mur pour comparer les courses (le trajet perpendiculaire étant plus court).

Utiliser les marquages au sol des cours de récréation.

Ce travail prendra son sens en classe par une représentation sur feuille (à feuille quadrillée puis à feuille blanche).

 

Sitographie :

http://www.labomep.net

 

Exemples de séquence sur l’angle droit

 

Utilisation de logiciels de géométrie pour reconnaitre l’angle droit

 

 

Difficultés à reconnaitre des droites parallèles

 

 

- Il faut varier les objets : segments, demi droites, droites parallèles. L’élève doit comprendre que ces objets peuvent être prolongés, permettant ainsi de découvrir des intersections qui ne se voyaient pas.

- travailler sur des figures complexes : réseaux de droites avec des droites parallèles pas forcément horizontales ou verticales :

1/ perceptif : œil nu

2/ instrumenté : avec quels instruments ? d’abord un instrument puis avec deux.

Remarque : choisir aussi des droites « quasiment » parallèles.

 

=> travail de reproduction de figures (à droites parallèles) avec émission/réception de messages (cf activités Ermel). Par exemple, travailler sur un message (en réception et en production) pour reproduire une pièce de tangram qui aurait été perdue.

 

Sitographie :

 

http://www.labomep.net

 

Utilisation de logiciels de géométrie pour reconnaître des droites parallèles

 

 

Difficultés à reconnaître des droites perpendiculaires

 

Droites perpendiculaires : une  droite  étant  donnée  sur  une  feuille,  une  droite  perpendiculaire  est  telle  que,  si  on  plie  la  feuille  suivant  cette  droite,  alors  cela  amène  la  superposition  de  la  première  droite  sur  elle-même.

Une  droite  perpendiculaire  à  une  autre  est  la  droite  support  du  plus  court  chemin  d’un  point  à la première droite.

- Varier l’expression de la perpendicularité : (d est perpendiculaire à d’ ; d’ est perpendiculaire à d ; d et d’ sont perpendiculaires) Il s’agit d’une relation établie entre deux droites et non pas une propriété intrinsèque à une droite.

 

- Il faut varier les objets : segments, demi droites, droites perpendiculaires. L’élève doit comprendre que ces objets peuvent être prolongés, permettant ainsi de découvrir des intersections qui ne se voyaient pas.

 

- travail de recherche sur les angles droits dans les objets de la vie courante (dans la classe), quitte à faire prolonger les côtés pour visualiser l’angle droit pour une table à « coin rond ».

 

- travailler sur des figures complexes : réseaux de droites avec des droites perpendiculaires pas forcément horizontales ou verticales. Travailler sur les polygones : reconnaissance et repérage de l’angle droit, tracé de hauteurs dans un triangle…

1/ perceptif : œil nu

2/ instrumenté : avec quels instruments ?

Remarque : choisir aussi des droites « quasiment » perpendiculaires (angles à 87°, 92°).

-  travailler sur le double pliage :

Activité 1 : avoir une équerre personnelle (qui n’a pas la forme d’un triangle) pour valider une hypothèse perceptive.

Activité 2 : rabattre par pilage une droite sur elle-même soit à l’endroit où elle coupe la droite dont on cherche à vérifier si elle lui est perpendiculaire, soit en passant par un point donné quand on cherche à construire la perpendiculaire à cette droite passant par ce point.

 

=> Travailler sur papier quadrillé puis sur papier blanc.

 

=> travail de reproduction de figures (à angles droits) avec émission/réception de messages (cf activités Ermel). Par exemple, travailler sur un message (en réception et en production) pour reproduire une pièce de tangram qui aurait été perdue.

 

Utilisation de logiciels de géométrie pour reconnaitre des droites parallèles (en particulier géogébra)

 

 

Difficultés à tracer des droites parallèles

- Pour tracer des parallèles, il est nécessaire de repasser par la perpendiculaire.

Il y a deux possibilités :

- si la notion de parallèle est acquise, il s’agit de problèmes de tracés (cf plus haut pour le tracé ou reprendre la méthodologie du tracé par des exemples divers).

- si la notion n’est pas acquise, revenir sur le concept avant de travailler le tracé : privilégier le vécu de l’élève. Problématiser avec l’élève : « trace deux droites qui ne se rencontrent jamais »

 

Difficultés à tracer des droites perpendiculaires

Il y a deux possibilités :

- si la notion de perpendiculaire est acquise, il s’agit de problèmes de tracés (cf plus haut pour le tracé ou reprendre la méthodologie du tracé par des exemples divers).

http://mathsgeo.net/rep/images/dper09.gif

 

 

 

 

 

 

- si la notion n’est pas acquise, revenir sur le concept avant de travailler le tracé. privilégier le vécu de l’élève. Problématiser avec l’élève «  trouve le plus chemin le plus court entre un point et une droite ».

 

 

Difficultés de passer des représentations dans l’espace aux représentations planes

- Construire les représentations planes de l’exercice et proposer aux élèves de les plier uniquement le long des segments de façon à tenter d’obtenir un cube.

- Partir de boîtes en carton cubiques et parallélépipédiques et les déployer de diverses façons.

- Proposer des situations : trop de faces, manque des faces, pliages impossibles …

- travailler sur les origamis

- travailler sur les volumes d’Escher.

- travailler sur les représentations de l’espace en découverte du monde / géographie. Utiliser les logiciels de cartographie ( type google earth).

 

Utilisation de logiciels de géométrie pour passer de l’un à l’autre (notamment le logiciel Poly).

Compléments

 

Vous trouverez sur le site " Banque d’outils d’aide à l’évaluation diagnostique " des activités permettant de cerner la nature des difficultés et d’aider chacun de vos élèves :

http://www.banqoutils.education.gouv.fr/fic/E2MGC01.pdf

Exercice proposant de relier des points avec la règle.

 

http://www.banqoutils.education.gouv.fr/fic/E2MGC02P.pdf

Utilisation du papier calque pour reproduire une figure.

 

http://www.banqoutils.education.gouv.fr/fic/E2MGC03P.pdf

Tracer à la règle des segments dont on donne l’origine et l’extrémité.

 

http://www.banqoutils.education.gouv.fr/fic/E2MGC04.pdf

Relier des points à la règle pour construire une figure.

 

http://www.banqoutils.education.gouv.fr/fic/C6MRXST05.pdf

Réflexion sur la façon de placer l’équerre pour tracer des droites perpendiculaires et parallèles passant par des points donnés.

 

http://www.banqoutils.education.gouv.fr/fic/E2MGB01.pdf

Cet exercice met en jeu plusieurs compétences :

- connaître, de façon implicite, les propriétés du cercle (rayon) ;

- placer correctement les extrémités du compas ;

- prélever les mesures des rayons des cercles à l’aide du compas ;

- reproduire un cercle en respectant le centre indiqué et en préservant l’ouverture du compas ;

- reproduire un cercle en respectant le centre indiqué et en préservant l’ouverture du compas ;

- manipuler correctement le compas au cours du tracé.

 

 

 

Séquences de géométrie :

Site de J L bregeon :

 

http://jean-luc.bregeon.pagesperso-orange.fr/Page%203-10.htm